隣接2項間漸化式（階差・等比・一般型）の解き方をスライドでやさしく学ぶ

高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

	スライド	ノート	問題
1. 等差数列
2. 等比数列
3. Σ(シグマ)と和の公式
4. 階差数列
5. 数列の和と一般項
6. 差をとってできる数列の応用
7. (等差)×(等比)の和
8. 群数列
9. 隣接2項間漸化式(その1)
10. 隣接2項間漸化式(その2)
11. 隣接3項間漸化式

9. 隣接2項間漸化式（その1）

9.1　漸化式とは

　数列の各項の間に成り立つ関係(方程式)を漸化式(ぜんかしき）という．

例　$a_1=2$, $a_{n+1}=2a_n-1$ $ (n=1,2,3,\cdots)$

\[\begin{align*}
a_1&=2\\[5pt]
a_2&=2a_1-1=3\\[5pt]
a_3&=2a_2-1=5\\[5pt]
a_4&=2a_3-1=9\\[5pt]
&\vdots
\end{align*}\]

　　　　のような各項間の関係式を，(隣接2項間の)漸化式(ぜんかしき)という．

　これから様々なパターンの漸化式を扱っていく．いずれの場合も，与えられた漸化式から一般項を求めるというのが1つの目標となる．

　まずは基本的な漸化式の3つのパターンを確認していこう．

9.2 階差数列型 $\bigl(a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)\bigr)$

　$f(n)$ を $n$ の関数とする．

　$a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)$ で表された漸化式の左辺は，数列 $\{a_n\}$ の階差数列を表しており，右辺はその一般項が $n$ の式 $f(n)$ であることを表している．

　この $f(n)$ が定数である特別な場合と，そうでない一般の場合に分けて見ていこう．

● $f(n)$ が定数のとき

$f(n)$ が定数のとき[1]　$f(n)=$ (定数)
　　　　　→　$\{a_n\}$ は等差数列

　$f(n)=d$ (定数)とすると，漸化式は

\[a_{n+1}-a_n=d\]

となり，隣の項どうしの差が常に一定の $d$ であることを表している．これは数列 $\{a_n\}$ が公差 $d$ の等差数列であることにほかならない．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

こたえ

　漸化式を変形すると， $a_{n+1}-a_n=3$

　これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列である $\{a_{n+1}-a_n\}$ が常に定数3であることを表している．よって数列 $\{a_n\}$ は初項2で公差3の等差数列であるから

\[a_n=2+(n-1)\cdot3=\underline{\boldsymbol{3n-1}}\]

● $f(n)$ が定数でないとき

　次に，$f(n)$ が定数ではない一般のケースを見ていこう．

$f(n)$ が定数でないとき[2]　$f(n)\neq$ (定数)
　　　　　→　$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\ \ \ (n\geqq 2)$

　$f(n)$ が定数ではないとき，漸化式は

\[a_{n+1}-a_n=f(n)\]

となる．

これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列の一般項が $f(n)$ であることを表している．

　階差数列の一般項がわかれば，元の数列の一般項は計算できるのであった．(4. 階差数列 参照)．

　階差数列の和をとるときには「$n\geqq2$」の断り書きと，$n=1$ のチェックを忘れずに行う．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+2n$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

こたえ

　漸化式を変形すると， $a_{n+1}-a_n=2n$

　これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列である $\{a_{n+1}-a_n\}$ の一般項が $2n$ であることを表している．

　よって，$n\geqq2$ のとき，
\[\begin{align*}
a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}2k\\[5pt]
&=2+2\times\frac12(n-1)n\\[5pt]
&=\underline{\boldsymbol{n^2-n+2}}
\end{align*}\]

($n=1$ のときもこれでよい．)

9.3　等比数列型 $(a_{n+1}=ra_n)$

等比数列型の漸化式　$a_{n+1}=r\,a_n$　→　$\{a_n\}$ は公比 $r$ の等比数列

　この漸化式は，次の項である $a_{n+1}$ が前の項である $a_n$ の常に $r$ 倍であることを表しているから，数列 $\{a_n\}$ は公比 $r$ の等比数列であることを意味する．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=-3a_n$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

こたえ

　この漸化式から数列 $\{a_n\}$ は，次の項が前の項の常に$-3$ 倍 であることを表しているから，公比$-3$ の等比数列であることがわかる．
　よって　$\underline{\boldsymbol{a_n=2\cdot(-3)^{n-1}}}$

9.4　一般型 $(a_{n+1}=pa_n+q)$

このタイプの漸化式は解き方及び最終形が決まっている

　$p,\ q$ は $n$ によらない定数とすると，このタイプの漸化式は，最終的には次のような形となる．

　$a_{n+1}=pa_n+q$
　　　→　$a_n=Ap^{n-1}+B$ の形になる．

　何故このような形になるかについては，次の節である10. 隣接2項間漸化式(その2) で詳細に説明する．まずは教科書で説明されている内容を詳しく見ていこう．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+1$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

　このタイプの漸化式は「上手い変形」を行って，等比数列型$\boldsymbol{(a_{n+1}=r\,a_n})$ に帰着させるのが定石である．その「上手い変形」とは，定数 $c$ を用いて与えられた漸化式を

\[a_{n+1}-c=2(a_n-c)\]

というように表すことである．右辺のカッコの前の係数2は，与えられた漸化式の $a_n$ の係数である．