4．メネラウスの定理の逆【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

	スライド	ノート	問題
1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

---

中学校の範囲

	スライド	ノート	問題
1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．メネラウスの定理の逆

証明の流れ

[1]　直線QRと直線BCとの交点P${}^{\prime }$ をとる．
　　　[3点P${}^{\prime }$ ，Q，Rは一直線上]
　　　　↓
[2]　△ABCと直線P${}^{\prime }$Q でメネラウスの定理の式を作る．
　　　　↓
[3]　[2] の式と与えられた式を比較
　　　　↓
[5]　PとP${}^{\prime }$ が一致
つまり，[1]よりP，Q，Rは一直線上にある．

証明

1°　1点Pのみが辺の延長上にあるとき

　直線QR，BCとの交点をP${}^{\prime }$とする．(←流れの[1])
　[3点P${}^{\prime }$ ，Q，Rは一直線上]

　△ABCと直線P${}^{\prime }$Q でメネラウスの定理 により $$\frac{\mathrm{B}{\mathrm{P}}^{\prime }}{{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{C}}\cdot \frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}\mathrm{A}}\cdot \frac{\mathrm{A}\mathrm{R}}{\mathrm{R}\mathrm{B}}=1$$ が成り立つ．(←流れの[2])

　これと，与えられた式 $$\frac{\mathrm{B}\mathrm{P}}{\mathrm{P}\mathrm{C}}\cdot \frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}\mathrm{A}}\cdot \frac{\mathrm{A}\mathrm{R}}{\mathrm{R}\mathrm{B}}=1$$ を比較すると， $$\frac{\mathrm{B}{\mathrm{P}}^{\prime }}{{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{P}}{\mathrm{P}\mathrm{C}}$$ が成り立つから， $$\mathrm{B}{\mathrm{P}}^{\prime }:{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{C}=\mathrm{B}\mathrm{P}:\mathrm{P}\mathrm{C}$$ である．(←流れの[3])

　よって，2点P${}^{\prime }$，Pは共に，線分BCを同じ比で外分する点であるから一致する．P${}^{\prime }$ は直線QR上に取ったのであるから，3点P，Q，Rは1直線上にある．(←流れの[4])

2°　3点P,Q,Rが円の延長上にあるとき

　※ 1°との違いは図のみ．記述部分は一字一句同じ．

　直線QR，BCとの交点をP${}^{\prime }$とする．(←流れの[1])
　[3点P${}^{\prime }$ ，Q，Rは一直線上]

　△ABCと直線P${}^{\prime }$Q でメネラウスの定理 により $$\frac{\mathrm{B}{\mathrm{P}}^{\prime }}{{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{C}}\cdot \frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}\mathrm{A}}\cdot \frac{\mathrm{A}\mathrm{R}}{\mathrm{R}\mathrm{B}}=1$$ が成り立つ．(←流れの[2])

　これと，与えられた式 $$\frac{\mathrm{B}\mathrm{P}}{\mathrm{P}\mathrm{C}}\cdot \frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}\mathrm{A}}\cdot \frac{\mathrm{A}\mathrm{R}}{\mathrm{R}\mathrm{B}}=1$$ を比較すると， $$\frac{\mathrm{B}{\mathrm{P}}^{\prime }}{{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{P}}{\mathrm{P}\mathrm{C}}$$ が成り立つから， $$\mathrm{B}{\mathrm{P}}^{\prime }:{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{C}=\mathrm{B}\mathrm{P}:\mathrm{P}\mathrm{C}$$ である．(←流れの[3])

　よって，2点P${}^{\prime }$，Pは共に，線分BCを同じ比で外分する点であるから一致する．P${}^{\prime }$ は直線QR上に取ったのであるから，3点P，Q，Rは1直線上にある．(←流れの[4])

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補足

「チェバの定理の逆」との主な違いは次の赤線部分である：

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1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
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