円周角の定理の逆【ノート】
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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

	スライド	ノート	問題
1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

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中学校の範囲

	スライド	ノート	問題
1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．円の内部・外部

　ある点Pと，△ABCの外接円Cがあるとする．点Pと円Cの位置関係は，

1° 円の内部　2° 円の外部　3° 円周上

のいずれかであってこれ以外にない．この3つのうちのどれであるかは角の大小関係によって判定できる．

証明

まず「$⟹$」を示す．

[1]　点Pが円の内部 $⟹\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}<\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$ を示す

　図のように半直線APと円との交点をQとする．△BPQの内角と外角の関係により $$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}& =\mathrm{\angle }\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{Q}\mathrm{B}\mathrm{P}\\ & >\mathrm{\angle }\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{B}\\ & =\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{B}\\ & =\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}(\because \text{円周角の定理})\end{array}$$ $$\therefore \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}<\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$$

[2]　点Pが円の外部 $⟹\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}>\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$ を示す

1°　半直線APまたはBPが円と交わるとき

　図のようにAPと円との交点をQとする．△BPQの内角と外角の関係により $$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{B}& =\mathrm{\angle }\mathrm{Q}\mathrm{P}\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{Q}\\ & >\mathrm{\angle }\mathrm{Q}\mathrm{P}\mathrm{B}\\ & =\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}\end{array}$$ $$\therefore \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{B}>\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$$ 　円周角の定理により$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}$であるから $$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}>\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$$

2°　半直線APもBPも円と交わらないとき

　図のように半直線ACとBPの交点をQとすると，三角形の内角と外角の関係により $$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}<\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{B}<\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}$$ $$\therefore \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}>\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$$ となる．

　よって「$⟹$」が示された．

次に「$⟸$」を示す．

[1]　点Pが円の内部 $⟸\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}<\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$ を示す

　点Pは円の内部にあるか，外部にあるか，円周上にあるかのいずれかである．

　$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}<\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$のとき，点Pが円の外部にあるとすれば，先に示した「$\Rightarrow$」により$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}>\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$となるから矛盾．

　また，点Pが円周上にあるとすれば，円周角の定理により$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$となるから矛盾．
　従って点Pは円の内部にある．

[2]　点Pが円の外部 $⟸\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}>\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$ を示す

　点Pは円の内部にあるか，外部にあるか，円周上にあるかのいずれかである．

　$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}>\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$のとき，点Pが円の内部にあるとすれば，先に示した「$\Rightarrow$」により$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}<\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$となるから矛盾．

　また，点Pが円周上にあるとすれば，円周角の定理により$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}$となるから矛盾．

　従って点Pは円の内部にある．

　よって「$⟸$」が示された．

　以上により「$⟺$」が示された．

■

2．円周角の定理の逆

　先に議論した円の内部・外部の関係から，次の「円周角の定理の逆」が成り立つ：

証明

　点Pは△ABCの外接円の周上にあるか，そうでないかのいずれかであるが，上の定理により，

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}\ne \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}⟺$ 点Pは△ABCの外接円の周上にない

であるから，∠ACB$=$∠APBならば，点Pは△ABCの外接円の周上にある．よって4点A，B，C，Pは同一円周上にある．

■

補足

　線分ABを直径とする円周上に点Cをとって三角形ABCを作ると，$\mathrm{\angle }\mathrm{C}={90}^{\circ }$ であったから(円周角の定理)，$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{B}={90}^{\circ }$ ならば，Pも同じ円上の点となる．すなわち円周角の定理の逆の特別な場合として次が成り立つ：

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8. 三角形の五心
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