6．接弦定理とその逆【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

	スライド	ノート	問題
1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

---

中学校の範囲

	スライド	ノート	問題
1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．接弦定理

証明

[1] ∠TABが鋭角のとき

　直径AODをとると，∠ACB$=$∠ADB（∵円周角の定理）より，

$$\mathrm{\angle }\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B}\cdots (\ast )$$

を示せばよい．

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{B}& =\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{T}-\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B}\\ & ={90}^{\circ }-\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B}\cdots \text{①}\end{array}$$

　また，半円の弧に対する円周角は90°であるから∠ABD$=$90°．よって△ABDの内角の関係より，

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B}& ={180}^{\circ }-(\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}+\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B})\\ & ={180}^{\circ }-({90}^{\circ }+\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B})\\ & ={90}^{\circ }-\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B}\cdots \text{②}\end{array}$$

　よって，①，②より $(\ast )$ が示された．

[2] ∠TABが直角のとき

　半円の弧に対する円周角は90°であるから∠TAB$=$∠ACBは成り立つ．

[3] ∠TABが鈍角のとき

　図のように点Sをとると，∠SACは鋭角であるから，先に示した[1]により

$$\mathrm{\angle }\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$$

　よって，∠SAT$=$180°であるから，

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{B}& ={180}^{\circ }-(\mathrm{\angle }\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}+\mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{B})\\ & ={180}^{\circ }-(\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}+\mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{B})\cdots \text{③}\end{array}$$

　一方，△ABCの内角の関係より

$$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}={180}^{\circ }-(\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}+\mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{B})\cdots \text{④}$$

　③，④より∠TAB$=$∠ACBが示された．

■

2．接弦定理の逆

証明の流れ

1．点Aを通る接線上に点T${}^{\prime }$をとる．
　　↓
2. 上で示した接弦定理を利用

証明

　図のように点Aを通る円の接線上に点T${}^{\prime }$をとると，接弦定理により

$$\mathrm{\angle }{\mathrm{T}}^{\prime }\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}$$

が成り立つ．よって仮定の式とから，

$$\mathrm{\angle }\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }{\mathrm{T}}^{\prime }\mathrm{A}\mathrm{B}$$

　従って2直線AT，AT’は一致するから，直線ATは円の接線である．

■

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2. メネラウスの定理
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4. メネラウスの定理の逆
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7. 方べきの定理とその逆
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2. 円周角の定理の逆