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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

  スライド ノート 問題
1. チェバの定理      
2. メネラウスの定理      
3. チェバの定理の逆      
4. メネラウスの定理の逆      
5. 円に内接する四角形      
6. 接弦定理とその逆      
7. 方べきの定理とその逆      
8. 三角形の五心      
　　重心      
　　外心      
　　垂心      
　　内心      
　　傍心      

中学校の範囲

  スライド ノート 問題
1. 円周角の定理      
2. 円周角の定理の逆      

1．チェバの定理

チェバの定理とは

　三角形と，3つの線分で構成された図形で成り立つチェバの定理を見ていこう．

　この線分の一端は三角形の頂点であり，もう一端は辺上，または辺の延長上である．

　そして何よりその3線分が1点で交わっているということが必要である．

　次に示す定理の中では，先に交点となるべき点をとっておいて，各頂点とその点を結ぶ半直線が，三角形の辺またはその延長上と交わる点を考えている．(すぐ下のアニメーション参照．)

　その方が，チェバの定理の逆 との接続がよいであろう．

チェバの定理

直線AB，BC，CA上にない点Oをとる．

△ABCの頂点A，B，Cと点Oを結ぶ各直線が，対辺またはその延長とそれぞれP，Q，Rで交わるとき，次が成り立つ：

\[\boldsymbol{\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1}\]

点O が△ABC の内部にあるとき

点O が△ABC の外部にあるとき

アニメーション
(スライドから抜粋)
点が△ABCの内部にある場合

アニメーション
(スライドから抜粋)
点が△ABCの外部にある場合

証明のポイント

　3つの線分比の値(分数)を，三角形の面積比の値で表す．

確認事項

  • 　比 $a:b$ について，$\dfrac ab$ を比の値という．$\dfrac ab=\dfrac cd$ が成り立つとき，$a:b=c:d$ と表す．

証明

1°　点Oが△ABCの内部にあるとき

辺OAが共通の底辺→高さの比が面積比

　まず，BP：PCは，△OAB(斜線部)と△OCA(打点部)の面積比と一致する．

　何故なら線分AOを共通の底辺とみれば，面積比は高さの比に等しく，高さの比はBP：PCに等しいからである．（詳しくはスライド 参照）

　従って

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\]

$\therefore \dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots$ ①

　次にCQ：QAであるが，先ほどと同様に考えて△OCB(破線部)と△OAB(斜線部)の面積比に等しい(下図)．

辺OBが共通の底辺→高さの比が面積比

　従って

$\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots$ ②

　最後にAR：RBも，これまでと同様に考えて△OCA(打点部)と△OCB(破線部)の面積比に等しい(下図)．

辺OCが共通の底辺→高さの比が面積比

　従って

$\dfrac{\rm AR}{\rm RB}=\dfrac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots$ ③

　①，②，③を辺々掛けて

\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\]

　右辺が次々と約分できて

\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]

2°　点Oが△ABCの外部にあるとき