チェバの定理とその証明|点が三角形の内部・外部にある場合をスライドでやさしく説明

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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

中学校の範囲

1．チェバの定理

チェバの定理とは

　三角形と3つの線分で構成された図形で成り立つチェバの定理を見ていこう．この線分の一端は三角形の頂点で，もう一端は辺上，または辺の延長上である．そして何よりその3線分が1点で交わっているということが必要である．次に示す定理の中では，先に交点となるべき点をとっておいて，各頂点とその点を結ぶ反直線が，三角形の辺またはその延長上と交わる点を考えている．(すぐ下のアニメーション参照．)

チェバの定理
　直線AB，BC，CA上にない点Oをとる．△ABCの頂点A，B，Cと点Oを結ぶ各直線が対辺，またはその延長とそれぞれP，Q，Rで交わるとき，次が成り立つ：
$$\boldsymbol{\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1}$$

証明のポイント

　3つの線分比の値(分数)を，三角形の面積比の値で表す．

証明

1°　点Oが△ABCの内部にあるとき

　まず，BP：PCは，△OAB(斜線部)と△OCA(打点部)の面積比と一致する．何故なら線分AOを共通の底辺とみれば，面積比は高さの比に等しく，高さの比はBP：PCに等しいからである．（詳しくはスライド 参照）

　従って

$$\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA$$

$\therefore \dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots$ ①

　次にCQ：QAであるが，先ほどと同様に考えて△OCB(破線部)と△OAB(斜線部)の面積比に等しい(下図)．

　従って

$\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots$ ②

　最後にAR：RBも，これまでと同様に考えて△OCA(打点部)と△OCB(破線部)の面積比に等しい(下図)．

　従って

$\dfrac{\rm AR}{\rm RB}=\dfrac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots$ ③

　①，②，③を辺々掛けて

　右辺が次々と約分できて

$$\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1$$

2°　点Oが△ABCの外部にあるとき