1．チェバの定理【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

---

中学校の範囲

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1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．チェバの定理

チェバの定理とは

　三角形と3つの線分で構成された図形で成り立つチェバの定理を見ていこう．この線分の一端は三角形の頂点で，もう一端は辺上，または辺の延長上である．そして何よりその3線分が1点で交わっているということが必要である．次に示す定理の中では，先に交点となるべき点をとっておいて，各頂点とその点を結ぶ反直線が，三角形の辺またはその延長上と交わる点を考えている．(すぐ下のアニメーション参照．)

証明のポイント

　3つの線分比の値(分数)を，三角形の面積比の値で表す．

証明

1°　点Oが△ABCの内部にあるとき

　まず，BP：PCは，△OAB(斜線部)と△OCA(打点部)の面積比と一致する．何故なら線分AOを共通の底辺とみれば，面積比は高さの比に等しく，高さの比はBP：PCに等しいからである．（詳しくはスライド 参照）

　従って

$$\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA$$

$\therefore \dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots$ ①

　次にCQ：QAであるが，先ほどと同様に考えて△OCB(破線部)と△OAB(斜線部)の面積比に等しい(下図)．

　従って

$\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots$ ②

　最後にAR：RBも，これまでと同様に考えて△OCA(打点部)と△OCB(破線部)の面積比に等しい(下図)．

　従って

$\dfrac{\rm AR}{\rm RB}=\dfrac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots$ ③

　①，②，③を辺々掛けて

　右辺が次々と約分できて

$$\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1$$

2°　点Oが△ABCの外部にあるとき

　点Oが△ABCの内部にある場合とは図が異なるだけで，式は異なるところが1つもない．

　BP：PCは，△OABと△OCAの面積比と一致する．何故なら線分AOを共通の底辺とみれば，面積比は高さの比に等しく，高さの比はBP：PCに等しいからである．（詳しくはスライド 参照）

　従って

$$\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA$$

$\therefore \dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots$ ④

　次にCQ：QAであるが，先ほどと同様に考えて△OCBと△OABの面積比に等しい(下図)．

　従って

$\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots$ ⑤

　最後にAR：RBも，これまでと同様に考えて△OCAと△OCBの面積比に等しい(下図)．

　従って

$\dfrac{\rm AR}{\rm RB}=\dfrac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots$ ⑥

　④，⑤，⑥を辺々掛けて

　右辺が次々と約分できて

$$\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1$$

■

補足

• [覚え方] 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく．

• [書き方] 加えて，頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く．

• [融通性] チェバの定理の左辺は3つの分数の積になっている．積は計算の順序が自由にできるから，掛ける順番をローテーションして $$\begin{align*}&\dfrac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\dfrac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]=&\dfrac{\rm AR}{\rm RB}\cdot\dfrac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\\[5pt]=&\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\dfrac{\rm AR}{\rm RB}\cdot\dfrac{\rm BP}{\rm PC}\end{align*}$$ などが成り立つ．つまり，スタート地点は頂点Bである必要はなく，三角形の3頂点のどれでもよい．
• チェバの定理とメネラウスの定理 は式が完全に同一である．

定理の内容が理解出来たら，次は演習問題 で理解の確認！

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2. メネラウスの定理
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