チェバの定理の逆とその証明｜辺上の点が3つ・1つの場合をスライドでやさしく説明

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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

中学校の範囲

1．チェバの定理の逆

チェバの定理の逆
　△ABCにおいて，直線BC，CA，AB上にそれぞれ点P，Q，Rがあり，このうち1個または3個が辺上の点とする．このとき，BQとCRが交わり，かつ
$$\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1$$
ならば，3直線AP，BQ，CRは1点で交わる．

証明の流れ

[1]　BQとCRの交点Oをとる．
　　　　↓
[2]　直線AOとBCの交点 P$’$ をとる．
　　　　↓
[3]　△ABCと3点 P$’$，Q，Rでチェバの定理の式を作る．
　　　　↓
[4]　[3] の式と与えられた式を比較
　　　　↓
[5]　PとP$’$ が一致
　よって直線APはOを通るから，AP，BQ，CRは1点Oで交わる．

証明

1°　3点P,Q,R がすべて△ABC の辺上のとき

　線分BQとCRの交点をOとする．(←流れの[1])

　直線AOとBCとの交点をP$’$とする．(←流れの [2])

　このときチェバの定理 により
$$\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1$$ が成り立つ．(←流れの[3])

これと，与えられた式 $$\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1$$ を比較すると， $$\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}$$ が成り立つから，$\rm BP’:P’C=BP:PC$．(←流れの[4])

　P と P$’$ はともに辺BC上にあるから，PとP$’$ が一致する．つまり，直線AP が点Oを通るから，3直線AP，BQ，CR は1点Oで交わる．(←流れの[5])

2°　1点Pのみが△ABC の辺上のとき