高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

  スライド ノート 問題
1. チェバの定理      
2. メネラウスの定理      
3. チェバの定理の逆      
4. メネラウスの定理の逆      
5. 円に内接する四角形      
6. 接弦定理とその逆      
7. 方べきの定理とその逆      
8. 三角形の五心      
　　重心      
　　外心      
　　垂心      
　　内心      
　　傍心      

中学校の範囲

  スライド ノート 問題
1. 円周角の定理      
2. 円周角の定理の逆      

1．円周角の定理

1．中心角

　円の中心と，弧の両端を結んでできる図の角(赤色)を，その弧(水色)に対する中心角という．

中心角(赤色)

　この表現からわかるように，中心角は弧に対応したものであって，弦に対応したものではないことに注意しよう．その理由は以下に示すように，中心角と弧は比例関係にあるが，中心角と弦は比例関係にないからである．

　1つの円で，2つの中心角とそれらに対応した弧について次が成り立つ．

定理

中心角が等しい $\iff$　弧の長さが等しい

∠AOB$=$∠COD $\iff$ 弧AB$=$弧CD

証明

　中心角が等しいとき，回転移動させると2つの扇形はぴったりと重なるから，弧の長さも等しい．
　弧の長さが等しいとき，回転移動させると2つの扇形はぴったりと重なるから，中心角も等しい．

アニメーション
回転させるとぴったりと重なる

■

　上の定理から，中心角を2倍，3倍とすれば，弧の長さも2倍，3倍になる．
　逆に，弧の長さを2倍，3倍とすれば，中心角も2倍，3倍となる．

　一般に次が成り立つ：

定理

弧の長さは中心角に比例する．

注意

　弦の長さは中心角に比例しない．

　円周上の2点A，Bに対して「弧AB」というとき，それが指すものは短い方とそうでない方の2つある．短い方の弧を劣弧という．

　弧を長くない方に制限すると次が成り立つ．

定理

弧の長さが等しい $\iff$ 弦の長さが等しい

証明

「弧の長さが等しい $\Longrightarrow$ 弦の長さが等しい」を示す．

　弧の長さが等しいならば，上の定理 により中心角が等しい．よって2つの二等辺三角形OABとOCDは合同である．(∵ 2辺夾角相等)
　従って対応する辺(弦)の長さが等しい．

「弧の長さが等しい $\Longleftarrow$ 弦の長さが等しい」を示す．