円周角の定理の逆とその証明｜点が円の内部・外部・円周上にある場合の判定法

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

	スライド	ノート	問題
1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

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中学校の範囲

	スライド	ノート	問題
1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．円の内部・外部

　ある点Pと，△ABCの外接円Cがあるとする．点Pと円Cの位置関係は，

1° 円の内部　2° 円の外部　3° 円周上

のいずれかであってこれ以外にない．この3つのうちのどれであるかは角の大小関係によって判定できる．

証明

まず「$\Longrightarrow$」を示す．

[1]　点Pが円の内部 $\Longrightarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

　図のように半直線APと円との交点をQとする．△BPQの内角と外角の関係により
$$\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle {\rm PQB}+\angle {\rm QBP}\\[5pt] &>\angle {\rm PQB}\\[5pt] &=\angle {\rm AQB}\\[5pt] &=\angle {\rm ACB}\ \ (\because \mbox{円周角の定理}) \end{align*}$$
$$\therefore \angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$$

[2]　点Pが円の外部 $\Longrightarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

1°　半直線APまたはBPが円と交わるとき

　図のようにAPと円との交点をQとする．△BPQの内角と外角の関係により
$$\begin{align*} \angle{\rm AQB}&=\angle {\rm QPB}+\angle {\rm PBQ}\\[5pt] &>\angle {\rm QPB}\\[5pt] &=\angle {\rm APB}\\[5pt] \end{align*}$$
$$\therefore \angle{\rm AQB}>\angle{\rm APB}$$
　円周角の定理により$\angle{\rm AQB}=\angle{\rm ACB}$であるから
$$\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}$$

2°　半直線APもBPも円と交わらないとき

　図のように半直線ACとBPの交点をQとすると，三角形の内角と外角の関係により
$$\angle{\rm APB} < \angle{\rm AQB} < \angle{\rm ACB}$$
$$\therefore\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}$$
となる．

　よって「$\Longrightarrow$」が示された．

次に「$\Longleftarrow$」を示す．

[1]　点Pが円の内部 $\Longleftarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

　点Pは円の内部にあるか，外部にあるか，円周上にあるかのいずれかである．

　$\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$のとき，点Pが円の外部にあるとすれば，先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$となるから矛盾．

　また，点Pが円周上にあるとすれば，円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾．
　従って点Pは円の内部にある．

[2]　点Pが円の外部 $\Longleftarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

　点Pは円の内部にあるか，外部にあるか，円周上にあるかのいずれかである．

　$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$のとき，点Pが円の内部にあるとすれば，先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$となるから矛盾．

　また，点Pが円周上にあるとすれば，円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾．

　従って点Pは円の内部にある．

　よって「$\Longleftarrow$」が示された．

　以上により「$\iff$」が示された．

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2．円周角の定理の逆

　先に議論した円の内部・外部の関係から，次の「円周角の定理の逆」が成り立つ：

証明