三角形の外心と外接円(3辺の垂直二等分線が1点で交わることの証明・作図)

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

	スライド	ノート	問題
1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

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中学校の範囲

	スライド	ノート	問題
1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

外心

　ここでの目標は，三角形に外心と呼ばれる点が存在することを示すことにある．

1．円と弦

まずは準備として，円の中心と弦の関係を確認

証明

　中心Oから弦ABに垂線OMを下ろす．

[1]　円の中心Oから弦ABに引いた垂線は，その弦を2等分する．

　△OAMと△OBMにおいて，仮定より

$\angle\rm OMA=\angle OMB=90^\circ\ \cdots$ ①

　OAとOBは円の半径だから

$\rm OA=OB\ \cdots$ ②

　また，

$\rm OM$ は共通 $\cdots$ ③

　①～③より直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから △OAM≡△OBM．故に $${\rm AM}={\rm BM}$$

[2]　円の中心Oは弦ABの垂直二等分線上にある．

　上の基本事項の確認から，弦ABの両端から等しい距離にある点はすべて弦ABの垂直二等分線上にある．このことは中心Oも弦ABの垂直二等分線上にあることを意味する．

■

2．外心

三角形の外心とは

　前節の準備の下，外心について説明をする．