三角形の五心 – 内心【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

	スライド	ノート	問題
1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

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中学校の範囲

	スライド	ノート	問題
1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．内心

基本事項の確認

　角の二等分線 $l$ は，2直線 $m,n$ から等しい距離にある点の集合である．

証明の方針

　2つの内角の二等分線の交点をとる
　　　↓
　その交点から各辺までの距離が等しい．
　　　↓
　その交点が，残りの角の二等分線上にもある．

証明

　△ABCの$\mathrm{\angle }\mathrm{B}$と$\mathrm{\angle }\mathrm{C}$ の二等分線の交点を $\mathrm{I}$ とし，$\mathrm{I}$ から辺BC，CA，ABに下ろした垂線の足をそれぞれD，E，Fとする．

　上の基本事項により， $$\mathrm{I}\mathrm{D}=\mathrm{I}\mathrm{E}\text{かつ}\mathrm{I}\mathrm{D}=\mathrm{I}\mathrm{F}$$ 　よって， $$\mathrm{I}\mathrm{E}=\mathrm{I}\mathrm{F}$$ 　このことは，$\mathrm{I}$ が$\mathrm{\angle }\mathrm{A}$の二等分線上にもあることを意味する．
　故に，3本の角の二等分線は1点で交わる．

■

補足

　この定理の証明過程により，どんな三角形にも3辺に接する円がただ1つ存在する．その円を三角形の内接円といい，内接円の中心を内心という．

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1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

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2. 円周角の定理の逆