高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. チェバの定理 | |||
| 2. メネラウスの定理 | |||
| 3. チェバの定理の逆 | |||
| 4. メネラウスの定理の逆 | |||
| 5. 円に内接する四角形 | |||
| 6. 接弦定理とその逆 | |||
| 7. 方べきの定理とその逆 | |||
| 8. 三角形の五心 | |||
| 重心 | |||
| 外心 | |||
| 垂心 | |||
| 内心 | |||
| 傍心 |
中学校の範囲
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 円周角の定理 | |||
| 2. 円周角の定理の逆 |
1．方べきの定理
下の図の①～③について，次が成り立つ：
\[\begin{array}{cll} \mbox{①},\mbox{②}&:&4\mbox{点A，B，C，Dが同一円周上}\\[5pt] &&\Rightarrow{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PC}\cdot{\rm PD} \end{array}\]
（従ってTは接点）
\[\Rightarrow{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PT}^2\]
証明の方針
三角形の相似を示す．
↓
「対応する辺の比は等しい」を利用．
証明
①，②
△PAC∽△PDB（∵2角相等）より \[{\rm PA}:{\rm PD}={\rm PC}:{\rm PB}\] \[\therefore {\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PC}\cdot{\rm PD}\]
③
△PATと△PTBについて，∠Pは共通，接弦定理 により∠PTA$=$∠PBTであるから，△PAT∽△PTB (2角相等)．よって， \[{\rm PA}:{\rm PT}={\rm PT}:{\rm PB}\] \[\therefore\ \ {\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PT}^2\]
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2．方べきの定理の逆
下の図の①～③について，次が成り立つ：
\[\begin{array}{cll}
\mbox{①},\mbox{②}&:&{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PC}\cdot{\rm PD}\\[5pt]
&&\Rightarrow 4\mbox{点A，B，C，Dは同一円周上}
\end{array}\]
\[\begin{array}{cll}
\mbox{③}&:&{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PT}^2\\[5pt]
&&\Rightarrow {\rm PT}\mbox{は}\triangle{\rm ABT}\mbox{の外接円の接線}\\
&&\hspace{10mm}(\mbox{従って}{\rm T}\mbox{は接点})
\end{array}\]