7．方べきの定理とその逆【ノート】
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数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

	スライド	ノート	問題
1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

中学校の範囲

	スライド	ノート	問題
1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．方べきの定理

方べきの定理
　下の図の①～③について，次が成り立つ：

\begin{array}{cll} ①, ② & : & 4 点A，B，C，Dが同一円周上 \\ \Rightarrow P A \cdot P B = P C \cdot P D \end{array}

③：PTが△ABTの外接円の接線
（従ってTは接点）

\Rightarrow P A \cdot P B = {P T}^{2}

証明の方針

　三角形の相似を示す．
　　　↓
　「対応する辺の比は等しい」を利用．

証明

①，②

　△PAC∽△PDB（∵2角相等）より $P A : P D = P C : P B$ $∴ P A \cdot P B = P C \cdot P D$

③

　△PATと△PTBについて，∠Pは共通，接弦定理 により∠PTA $=$ ∠PBTであるから，△PAT∽△PTB (2角相等)．よって， $P A : P T = P T : P B$ $∴ P A \cdot P B = {P T}^{2}$

■

2．方べきの定理の逆

方べきの定理の逆
下の図の①～③について，次が成り立つ：

\begin{array}{cll} ①, ② & : & P A \cdot P B = P C \cdot P D \\ \Rightarrow 4 点A，B，C，Dは同一円周上 \end{array}

\begin{array}{cll} ③ & : & P A \cdot P B = {P T}^{2} \\ \Rightarrow P T は △ A B T の外接円の接線 \\ (従って T は接点) \end{array}

証明の方針

①と②
　△ABCの外接円と半直線PDの交点D’をとる．
　　　↓
　DとD’が一致することを示す．

③
　三角形の相似を示す．
　　　↓
　接弦定理の逆 を利用．

証明

①，②

　△ABCの外接円と半直線PDとの交点をD’とする．

　方べきの定理により

PA $\cdot$ PB $=$ PC $\cdot$ PD’

　また仮定より

PA $\cdot$ PB $=$ PC $\cdot$ PD

　従ってPD’ $=$ PDであるから，半直線PD上の2点DとD’は一致する．
　よって，4点A，B，C，Dは同一円周上にある．

③

　△PTAと△PBTにおいて，

∠Pは共通　 $\dots$ ①

　仮定よりPA $\cdot$ PB $=$ PT $^{2}$ であるから，

$\frac{P A}{P T} = \frac{P T}{P B}$

　よって，

PA：PT $=$ PT：PB　 $\dots$ ②

　①，②より，△PTA∽△PBT（∵2辺比夾角相等)．

　従って∠PTA $=$ ∠PBTとなるから，接弦定理の逆 により，直線PTは円の接線である．

■

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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

	スライド	ノート	問題
1. チェバの定理
2. メネラウスの定理
3. チェバの定理の逆
4. メネラウスの定理の逆
5. 円に内接する四角形
6. 接弦定理とその逆
7. 方べきの定理とその逆
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

中学校の範囲

	スライド	ノート	問題
1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

7．方べきの定理とその逆【ノート】1人で学べる！高校数学

第3章 図形の性質

中学校の範囲

1．方べきの定理

証明の方針

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2．方べきの定理の逆

証明の方針

証明

第3章 図形の性質

中学校の範囲

7．方べきの定理とその逆【ノート】
1人で学べる！高校数学

第3章　図形の性質

第3章　図形の性質