差をとってできる数列の応用と部分分数分解をスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

	スライド	ノート	問題
1. 等差数列
2. 等比数列
3. Σ(シグマ)と和の公式
4. 階差数列
5. 数列の和と一般項
6. 差をとってできる数列の応用
7. (等差)×(等比)の和
8. 群数列
9. 隣接2項間漸化式(その1)
10. 隣接2項間漸化式(その2)
11. 隣接3項間漸化式

6. 差をとってできる数列の応用

6.0　はじめに

階差数列の公式の確認

　数列 $\{a_n\}$ の一般項を知りたいと思ったとき，もしそれが等差でも等比でもないとなれば，簡単に求めることは難しいかもしれない．ただ，そこに一筋の光が差すとすれば，それはこの数列 $\{a_n\}$ の階差―― $\{b_n\}$ とする――が，扱いやすい性質を持っていた場合である．例えば，$\{b_n\}$ が等差や等比といった，構造が見通しやすい数列になっていれば，次のような形で $\{a_n\}$ の一般項を求めることが可能になる．

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k\ \ (n\geqq2)$$

(詳しくは 4. 階差数列 参照)

数列の和を別の角度から求める

　いまこの式を変形して

$$\sum_{k=1}^{n-1} b_k=a_n-a_1$$

としてみよう．この一見ささやかな変形が意味するのは，よくよく考えれば，驚きを隠しえない逆転の契機である．たった今しがたまで主役だった $\{a_n\}$ が，ここにきて静かにその座を明け渡し，むしろ脇役めいていた $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k$ が，思いがけず前景に現れ出る．この微細でありながら決定的な視点の転換が意味するのは，すなわち以下のような関係性である．

階差数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n-1$ 項までの和は，元の数列 $\{a_n\}$ の $a_n-a_1$ で求められる

　しかもそれは，ほとんど技巧らしい技巧を要することもなく，むしろ自然に，気づけば既にその結論へと辿り着いていたかのような関係である．そして，この思いがけない導出の平易さのうちには，いくばくかの困惑と，ある種の方法論的エレガンスが同居している．ここで注目したいのは

ある数列の和を求めるにあたって，その数列が階差数列となっている元の数列の一般項がわかれば，和はいとも簡単に計算できる．

という逆説的な事実が，この式によってごく自然に示されていることである．これはつまり，階差数列を手掛かりとして，元の数列の一般項を導くという従来の道筋を，今度は逆向きに利用しようとする，非常に興味深い試みである．

　以下，いくつかの具体例に触れることで，この関係性の輪郭をさらに明確にしてゆくことにしよう．

6.1　部分分数分解

　部分分数分解は，数学Ⅱ式と証明 2.分数式 のところで学習済みである．

　例として $a_n=\dfrac1{n(n+1)}$ で表される数列を考えよう．最初のいくつかの項を書くと次のようである．

$$\dfrac1{1\cdot2},\ \ \dfrac1{2\cdot3}, \ \ \dfrac1{3\cdot4},\ \ \cdots$$

　この数列はある数列 $\{b_n\}$ の階差数列となっていて，この $b_n$ を用いると先に見た式により

$$\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=b_{n+1}-b_1$$

として求めることができる．では $\{b_n\}$ とは何か？それは

$$b_n=-\frac1n$$

である．実際

$$\begin{align*} b_{n+1}-b_n&=-\frac1{n+1}-\left(-\frac1n\right)\\[5pt] &=\frac{-n+(n+1)}{n(n+1)}\\[5pt] &=\frac1{n(n+1)} \end{align*}$$

である．

例題1　$S_n=\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot 4}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)}$ を求めよ．

答