メネラウスの定理とその証明｜直線が三角形の内部・外部にある場合をスライドでやさしく説明

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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

中学校の範囲

1．メネラウスの定理

　チェバの定理と非常に内容の似通った定理にメネラウスの定理というものがある．チェバの定理以上に適用範囲が広く，しばしば数学Bで学ぶベクトルではこのメネラウスの定理を使うのが最速の解法だという問題 まである．

　メネラウスの定理は，三角形と1本の直線によってできるいくつかの線分比についての関係を述べたものであるが，その直線が三角形の内部を通る場合と外部を通る場合の2つのタイプがあるが，一般的によく知られ，かつよく用いられているのは直線が三角形の内部を通るタイプである．

　メネラウスの定理が使える典型的な状況というのは，次のキツネのイラストのような図が現れたときであり，このキツネが出てきたら，「もしかしてメネラウスの定理が使えるのでは？」という直感が働くようにしておきたい．

「キツネが出てきたらメネラウス」

メネラウスの定理
　△ABCの辺BC，CA，ABまたはその延長が，三角形の頂点を通らない直線 $l$ とそれぞれP，Q，Rで交わるとき，
$$\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1$$

基本事項の確認

• 2直線 $l,\ m$ が平行のとき，次のような関係が成り立つ．
  (これらの証明は スライド 参照)

$$\rm PA:AB=PC:CD$$
$$\rm PA:PB=PC:PD$$
$$\rm PB:AB=PD:CD$$

証明

1°　直線が△ABCの内部を通るとき

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると， $$\rm BP:PC=BR:RD$$

$\therefore\dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots$ ①

　同様にして， $$\rm CQ:QA=DR:RA$$

$\therefore\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots$ ②

　よって，メネラウスの定理の左辺を，①，②によって書き換えると，次々と約分ができて，
$$\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}$$

2°　直線が△ABCの外部を通るとき